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Livret des astuces

Calcul rapide & méthodes gagnantes — Concours de Médecine & Grandes Écoles (ENSA, ENSAM…)

★ Prof. Moujahid Yassine · Édition 2026 · Mathématiques

Ce livret n'est pas un cours : c'est une boîte à outils. Aux concours, ce qui départage les candidats n'est pas ce qu'ils savent mais la vitesse et la sûreté de leur calcul. Une question de QCM se gagne souvent en 30 secondes — à condition de connaître le bon réflexe. Révise ces astuces avant chaque tentative, et reviens-y après pour comprendre tes erreurs.

★ Astuce — le réflexe à mémoriser ☞ Exemple — l'astuce en action ✗ Piège — l'erreur à éviter

Méthodologie & stratégie de QCM

Gagner des points sans même calculer

★La règle des 3 passes

Ne traite jamais le QCM dans l'ordre. Fais 3 passes : (1) les questions immédiates, (2) celles qui demandent un calcul moyen, (3) les difficiles ou à deviner. Tu sécurises ainsi tous les points faciles avant de manquer de temps.

Passe 1 ✓

Réponses immédiates

Passe 2

Calcul moyen

Passe 3

Difficiles / à deviner

40 questions en 1h : récolte d'abord les 25 « rapides » en 20 min, puis consacre les 40 min restantes aux 15 vraies difficultés. Score garanti \(\geq 25\).

★Élimination par ordre de grandeur

Avant un calcul exact, estime l'ordre de grandeur du résultat : signe, unité, puissance de 10. Souvent 2 ou 3 propositions sont absurdes et tombent immédiatement.

☞ Exemple : \(\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx = ?\) La fonction est positive et \(\lt 1\) sur \([0,1]\), donc l'intégrale est entre \(0\) et \(1\) : seule la réponse \(0{,}75\) survit. Aucun calcul nécessaire.

★Vérifier par cas particuliers

Pour une réponse littérale, substitue une valeur simple (\(x=0,\ x=1,\ x\to\infty\)) dans l'énoncé et dans chaque proposition. Celles qui ne coïncident pas sont fausses.

☞ Exemple : \((a+b)^3 = ?\) Teste \(a=1,\ b=1\) : le vrai résultat vaut \(8\). Une proposition donnant \(a^3+b^3=2\) est éliminée. La bonne, \(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), donne bien \(8\).

✗ Piège : lis le mot exact de la consigne : « laquelle est fausse », « valeur approchée », unités (cm vs m), domaine de définition. La moitié des erreurs viennent d'une lecture trop rapide, pas d'un calcul.

Calcul mental & arithmétique éclair

Le nerf de la guerre en QCM

★Le carré d'un nombre finissant par 5

\((10a+5)^2 = \overline{a(a+1)\,|\,25}\) : multiplie la dizaine \(a\) par son suivant \(a+1\), puis colle « \(25\) » à droite.

☞ Exemple : \(35^2 \to 3\times 4 = 12 \Rightarrow 1225\). \(85^2 \to 8\times 9 = 72 \Rightarrow 7225\).

★Multiplication par 11

\(\overline{ab}\times 11 = \overline{a\,|\,(a+b)\,|\,b}\). Si \(a+b\geq 10\), on retient \(1\) sur le chiffre de gauche.

☞ Exemple : \(53\times 11 = 5\,|\,8\,|\,3 = 583\). \(76\times 11 = 7\,|\,(13)\,|\,6 \to 836\).

★Pourcentages : la symétrie

\(a\%\text{ de }b = b\%\text{ de }a\). On peut échanger les deux nombres pour simplifier le calcul.

☞ Exemple : \(18\%\text{ de }50\) est pénible ; mais \(50\%\text{ de }18 = 9\). C'est le même résultat.

★Comparer deux fractions : produit en croix

\(\dfrac{a}{b}\) vs \(\dfrac{c}{d}\) (avec \(b,d\gt 0\)) : compare \(a\cdot d\) et \(b\cdot c\). Le plus grand produit indique la plus grande fraction.

☞ Exemple : \(\dfrac{7}{12}\) vs \(\dfrac{5}{9}\) : \(7\times 9 = 63 \gt 12\times 5 = 60\), donc \(\dfrac{7}{12} \gt \dfrac{5}{9}\).

Algèbre & équations

Factoriser et résoudre plus vite

★Second degré : Viète avant le discriminant

Pour \(ax^2+bx+c=0\) : \(x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}\) et \(x_1\cdot x_2 = \dfrac{c}{a}\). Cherche deux nombres de somme \(-\dfrac{b}{a}\) et de produit \(\dfrac{c}{a}\) : souvent les racines sautent aux yeux sans calculer \(\Delta\).

☞ Exemple : \(x^2-7x+12=0\) : somme \(7\), produit \(12 \Rightarrow 3\text{ et }4\).

★Discriminant réduit (quand b est pair)

Si \(b=2b'\) : \(\Delta' = b'^2 - ac\) et \(x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}\). Les nombres manipulés sont plus petits.

☞ Exemple : \(x^2-6x+5=0\) : \(b'=-3\), \(\Delta'=9-5=4\), \(x=3\pm 2 \Rightarrow \{1,5\}\).

★Identités au-delà du carré

\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\) · \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\) · \(a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab\).

☞ Exemple : si \(a+b=5\) et \(ab=6\), alors \(a^2+b^2 = 5^2 - 2\times 6 = 13\), sans trouver \(a\) et \(b\).

★Racine évidente d'un polynôme

Teste \(\pm 1, \pm 2\) : si \(P(r)=0\), alors \((x-r)\) divise \(P\). Les racines rationnelles sont à chercher parmi les diviseurs du terme constant.

☞ Exemple : \(P(x)=x^3-2x^2-x+2\). \(P(1)=0 \Rightarrow P(x)=(x-1)(x-2)(x+1)\).

Limites

Lever les indéterminations en un éclair

★Croissances comparées (le réflexe roi)

En \(+\infty\) : \(\ln x \ll x^{\alpha}\ (\alpha\gt 0) \ll e^{x}\). La fonction « la plus forte » impose la limite.

☞ Exemple : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{10}}{e^{x}} = 0\) (l'exponentielle gagne). \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0\).

★Les équivalents usuels en 0

Quand \(x\to 0\) : \(\sin x \sim x\), \(\tan x \sim x\), \(1-\cos x \sim \dfrac{x^2}{2}\), \(\ln(1+x)\sim x\), \(e^{x}-1 \sim x\), \((1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x\).

☞ Exemple : \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(3x)}{\ln(1+5x)} = \lim_{x\to 0}\dfrac{3x}{5x} = \dfrac{3}{5}\).

★Forme ∞ − ∞ : la quantité conjuguée

Pour une différence de racines, multiplie haut et bas par la quantité conjuguée pour transformer \(\sqrt{A}-\sqrt{B}\) en \(\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}\).

☞ Exemple : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \dfrac{1}{2}\).

★Quotient de polynômes : termes dominants

En \(\pm\infty\), une fraction rationnelle se comporte comme le quotient de ses termes de plus haut degré.

☞ Exemple : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x+7}{5x^2+2x} = \dfrac{3}{5}\).

Dérivation

Dériver vite et sans faute

★La dérivée logarithmique pour les produits

Pour \(f = u\cdot v\cdot w\), dériver \(\ln|f|\) donne \(\dfrac{f'}{f} = \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} + \dfrac{w'}{w}\). Idéal pour les produits, quotients et puissances.

☞ Exemple : \(f(x)=x^2 e^{x}\ln x \Rightarrow \dfrac{f'}{f} = \dfrac{2}{x} + 1 + \dfrac{1}{x\ln x}\).

★Tangente en un point, sans réfléchir

La tangente à \(\mathcal{C}_f\) en \(a\) : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).

Ex : \(f(x)=x^2\) en \(a=3 \to f'(3)=6,\ f(3)=9 \Rightarrow y = 6(x-3)+9 = 6x-9\).

★Signe de la dérivée d'un quotient

Pour \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\), seul le numérateur décide du signe car \(v^2 \gt 0\).

☞ Exemple : \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\). Le signe est celui de \(1-x^2\) : \(f\) croît sur \([-1,1]\), décroît ailleurs.

Intégration

Primitives et intégrales sans transpirer

★Parité et symétrie sur [−a, a]

Si \(f\) est impaire : \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f = 0\). Si \(f\) est paire : \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f = 2\int_{0}^{a} f\).

Ex : \(\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^3 + \sin x)\,dx = 0\) (intégrande impair) — réponse immédiate.

★Les formes u'/u et u'·uⁿ

\(\displaystyle\int \dfrac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C\) · \(\displaystyle\int u'\,u^{n}\,dx = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C\ \ (n\neq -1)\).

☞ Exemple : \(\displaystyle\int \dfrac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C\). \(\displaystyle\int 2x(x^2+1)^3\,dx = \dfrac{(x^2+1)^4}{4} + C\).

★IPP : la méthode ALPES

Dans \(\displaystyle\int u\,v'\), choisis \(u\) selon la priorité A.L.P.E.S : Arc (trigo inv.), Log, Polynôme, Exponentielle, Sinus/cosinus. Le premier rencontré devient \(u\).

☞ Exemple : \(\displaystyle\int x\,e^{x}\,dx\) : Polynôme avant Exponentielle \(\Rightarrow u=x,\ v'=e^{x}\). Résultat : \((x-1)e^{x} + C\).

Suites

Reconnaître et calculer la limite

★Arithmético-géométrique : le point fixe

Pour \(u_{n+1} = a\,u_n + b\ (a\neq 1)\), le point fixe \(\ell\) vérifie \(\ell = a\ell + b\). Alors \(v_n = u_n - \ell\) est géométrique de raison \(a\).

☞ Exemple : \(u_{n+1} = \tfrac{1}{2}u_n + 3\) : point fixe \(\ell = 6\). \(v_n = u_n - 6\) est géométrique de raison \(\tfrac{1}{2} \Rightarrow\) limite \(6\).

★Limite d'une géométrique

Tout dépend de \(|q|\) : \(\lim q^{n} = 0\) si \(|q|\lt 1\) ; \(+\infty\) si \(q\gt 1\) ; \(1\) si \(q=1\) ; n'existe pas si \(q\leq -1\).

☞ Exemple : \(\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}\to 0\), \((1{,}1)^{n}\to +\infty\), \((-2)^{n}\) diverge.

Trigonométrie

Maîtriser le cercle et les formules

★Le cercle trigonométrique : valeurs clés

La règle du \(\dfrac{\sqrt{k}}{2}\) : pour \(\sin\) aux angles \(0,\ \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{\pi}{2}\) \(\to \dfrac{\sqrt{0}}{2},\ \dfrac{\sqrt{1}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{4}}{2}\). Pour \(\cos\), lis la même ligne à l'envers.

Angles \(0,\ \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{\pi}{2}\). Ex : \(\sin\tfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\cos\tfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{1}}{2}=\dfrac{1}{2}\).

★Réduire a·cos x + b·sin x

\(a\cos x + b\sin x = R\cos(x-\varphi)\) avec \(R=\sqrt{a^2+b^2}\) et \(\tan\varphi = \dfrac{b}{a}\). Pratique pour trouver max, min et solutions.

☞ Exemple : \(\cos x + \sqrt{3}\,\sin x = 2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)\) : le maximum vaut \(2\), atteint en \(x=\tfrac{\pi}{3}\).

★Linéariser avec Euler

Écris \(\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\), développe, puis regroupe : les puissances de cosinus deviennent des sommes intégrables.

☞ Exemple : \(\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}\), d'où \(\displaystyle\int \cos^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C\).

Nombres complexes

La forme exponentielle, votre alliée

★Puissances : passez en exponentielle (Moivre)

\(\left(r\,e^{i\theta}\right)^{n} = r^{n}\,e^{in\theta}\). Élever à une puissance revient à élever le module et multiplier l'argument.

☞ Exemple : \((1+i)^8\) : \(1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\), donc \((1+i)^8 = (\sqrt{2})^8\,e^{i2\pi} = 16\).

★Racines n-ièmes : un polygone régulier

Les \(n\) racines n-ièmes de \(z = r\,e^{i\theta}\) sont \(r^{1/n}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n},\ k=0\ldots n-1\) : elles forment les sommets d'un polygone régulier, réparties tous les \(\tfrac{2\pi}{n}\).

Racines cubiques de \(1\) : \(1,\ e^{2i\pi/3},\ e^{4i\pi/3}\) — un triangle équilatéral sur le cercle unité.

★Module d'un quotient

Le module est multiplicatif : \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}\) et \(\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2\).

☞ Exemple : \(|3+4i| = \sqrt{9+16} = 5\) — pas besoin de forme algébrique.

Logarithme & exponentielle

Dompter ln et exp

★Les propriétés dans les deux sens

\(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) · \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\) · \(\ln(a^{n}) = n\ln a\) ; et \(e^{a+b} = e^{a}e^{b}\), \(e^{na} = (e^{a})^{n}\).

☞ Exemple : \(\ln 24 = \ln(8\times 3) = 3\ln 2 + \ln 3\).

★Équations exponentielles : changement de variable

Pose \(X = e^{x}\) : une équation avec \(e^{2x}\) et \(e^{x}\) devient un trinôme en \(X\gt 0\) ; on rejette ensuite les \(X\leq 0\).

☞ Exemple : \(e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0 \Rightarrow X^2 - 3X + 2 = 0 \Rightarrow X\in\{1,2\} \Rightarrow x\in\{0,\ \ln 2\}\).

✗ Piège : \(\ln(a+b)\neq \ln a + \ln b\) et \(e^{a+b}\neq e^{a}+e^{b}\). Le log transforme les produits en sommes, jamais les sommes elles-mêmes.

Dénombrement & probabilités

Compter juste, conclure vite

★Arrangement ou combinaison ?

L'ordre compte-t-il ? Ordre important \(\to\) arrangement \(A_n^{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!}\). Ordre indifférent \(\to\) combinaison \(C_n^{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\).

☞ Exemple : un podium (\(1^{er}, 2^{e}, 3^{e}\)) parmi \(8\) : l'ordre compte, \(A_8^{3} = 336\). Choisir \(3\) délégués parmi \(8\) : \(C_8^{3} = 56\).

★Symétrie et triangle de Pascal

Deux raccourcis sur \(C_n^{k}\) : \(C_n^{k} = C_n^{\,n-k}\) (symétrie) et \(C_n^{k} = C_{n-1}^{\,k-1} + C_{n-1}^{k}\) (Pascal).

Chaque cellule = somme des deux du dessus. Ex : \(C_{10}^{8} = C_{10}^{2} = \dfrac{10\times 9}{2} = 45\).

★Probabilités conditionnelles : l'arbre

Probabilités totales : \(P(B) = \sum_i P(A_i)\,P(B|A_i)\). Dessine un arbre : on multiplie le long des branches, on additionne les chemins menant à l'événement.

2 urnes équiprobables (\(U_1\) : \(\tfrac{1}{2}\) rouges, \(U_2\) : \(\tfrac{1}{4}\)) \(\Rightarrow P(\text{rouge}) = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8}\).

★Espérance : la linéarité

\(E(aX + bY) = a\,E(X) + b\,E(Y)\), même si \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendants.

☞ Exemple : somme de deux dés : \(E(X_1 + X_2) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7\) — sans loi conjointe.

Géométrie & produit scalaire

Vecteurs, distances, espace — spécial ENSA

★Les trois visages du produit scalaire

Choisis la formule adaptée : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta = xx' + yy' + zz' = \tfrac{1}{2}\!\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)\).

☞ Exemple : \(\vec{u}(1,2,2),\ \vec{v}(2,0,1)\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 2+0+2 = 4\). Avec \(\|\vec{u}\|=3,\ \|\vec{v}\|=\sqrt{5}\) : \(\cos\theta = \dfrac{4}{3\sqrt{5}}\).

★Orthogonalité instantanée

\(\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\). Réflexe pour prouver un angle droit ou trouver une normale.

Ex : \(\vec{u}(1,-2,1)\) et \(\vec{v}(3,1,-1)\) : \(3-2-1 = 0 \Rightarrow\) orthogonaux.

★Distance d'un point à un plan

Plan \(ax+by+cz+d = 0\), point \(M(x_0,y_0,z_0)\) : \(d(M) = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).

☞ Exemple : \(M(1,1,1)\) et plan \(2x-y+2z-3 = 0\) : \(d = \dfrac{|2-1+2-3|}{3} = 0 \Rightarrow M\) appartient au plan.

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Le mot de la fin

Une astuce n'a de valeur que répétée. Refais chaque exemple sans regarder, puis applique-la sur tes annales de concours. La vitesse vient de l'entraînement, jamais de la lecture seule.

— Prof. Moujahid Yassine · @maths_with_yassin

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